第一章基本概念 以一维两点边值问题为例,说明如何把微分方程化归为等价的变分形式,进行有限元逼近,形成离散的方程组;并给出了方法的各种模的误差估计。 §1两点边值问题的弱形式; §2 Ritz-Galerkin逼近; §3误差估计; §4有限元方法的分段多项式空间; §5有限元方法与有限差分方法的关系; §6有限元方法的计算机实现。
第二章Sobolev空间 介绍Sobolev空间最基本的概念和性质,为有限元方法的理论研究奠定基础。 §1 Lebesgue积分理论; §2广义导数; §3 Sobolev范数和对偶空间; §4包含关系和Sobolev不等式; §5迹定理。
第三章椭圆边值问题的变分形式 研究椭圆方程变分问题的解的存在性和唯一性。 §1内积空间; §2 Hilbert空间; §3子空间的投影; §4 Riesz表示定理; §5对称变分形式。
第四章有限元空间的构造 介绍所采取的单元和相应的基函数。 §1有限元方法; §2三角形有限元; §3插值; §4元的等价性; §5矩形元。
第五章Sobolev空间中的多项式逼近 介绍有限元解误差估计的理论基础。 §1平均Taylor多项式; §2误差表示; §3 Riesz Potential的界; §4插值误差; §5逆估计。
第六章N维变分问题 以二维Poisson方程为例,研究了变分形式、有限元解的存在性、唯一性、收敛性和各种模的误差估计。 §1 Poisson方程的变分形式; §2 Neumann问题的变分形式; §3变分问题的强制性; §4 Poisson方程的变分逼近; §5椭圆的正则性估计。 |